La forza di marea ed il bioritmo

    Calcolo ed applicazioni, a cura di  Daniele Mazza, già Docente di Chimica applicata e Scienza dei materiali - Politecnico di Torino

 

Che cosa sono le forze di marea

La marea oceanica

Effetti delle forze di marea sul corpo umano

Calcolo della forza di marea

Il programma JPL Horizons

Calcolo vettoriale della forza di marea

Forze centrifughe associate al movimento dell’osservatore

Il programma Tidal_plot                                                                                           Scarica subito il programma eseguibile (zip file)

 

 

Che cosa sono le forze di marea

 

Le forze di marea sono un effetto secondario della interazione gravitazionale di un corpo celeste con un secondo, attorno al quale il primo ruota.

Mentre il baricentro del primo corpo percorre orbite ellittiche, seguendo le tre leggi di Keplero, esso esercita sul secondo corpo una forza gravitazionale che non è identica in ogni punto.

Infatti soltanto nel baricentro del secondo corpo si ha il perfetto equilibrio tra forza attrattiva gravitazionale ed accelerazione, secondo la legge newtoniana. I punti del secondo corpo più vicini al primo vengono attratti maggiormente, mentre il contrario avviene per quelli più lontani.  In altre parole la forza di marea dipende dal gradiente di campo gravitazionale.

 

Un esempio comune è dato dalla interazione della luna (primo corpo) con la terra (secondo): la maggiore attrazione lunare in aree superficiali a minore distanza con la luna causa vasti movimenti di acque oceaniche (maree) , mentre contemporaneamente in aree superficiali più lontane tale attrazione è minore. Oltre alla luna, sul nostro pianeta si esercitano anche forze di marea dovute al sole, pari circa alla metà delle prime.

Fig. 1  Andamento delle forze di marea sulla superficie terrestre. Esse si possono vettorialmente calcolare dalla differenza tra l’attrazione gravitazionale della luna nel baricentro della terra e su di un punto in superficie

 

La marea oceanica

 

Non confondiamo però le forze di marea con la marea stessa. Le prime sono la causa mentre la seconda è l’effetto. Le forze di marea esercitate su corpi mobili (es. acque oceaniche) provocano infatti ingenti spostamenti di masse acquatiche, influenzati poi da numerosi aspetti morfologici (superficie della massa d'acqua, forma della costa, differenza di profondità dei fondali)

La risultante di tale fenomeno crea in effetti due alte maree e due basse, ed inoltre la marea non è esattamente in fase con la forza di marea della luna, a causa della rotazione contemporanea della terra, che tende ad anticipare di circa un ora gli effetti.

L’ampiezza (cioè il dislivello tra bassa e alta marea), frequenza e orario delle maree sono certamente legati quindi alla posizione del sole e della luna rispetto al punto sulla superficie terrestre su di cui risiede l’osservatore.

Inoltre le maree sono influenzate da numerosi aspetti morfologici (superficie della massa d'acqua, forma della costa, differenza di profondità dei fondali). Le maree hanno effetto anche sul livello dei fiumi che sfociano nel mare. Le stesse forze e gli stessi principi che regolano le maree dei corpi liquidi, agiscono pure sui corpi solidi, in particolare è stata documentata la deformazione della crosta terrestre.

Diversi motivi fanno sì che alcuni litorali dello stesso mare o oceano non conoscano maree di rilievo mentre su altri litorali, anche prossimi, le maree possano avere ampiezza di molto superiore a dieci metri.

L’effetto delle forze di marea è quindi diverso se esse agiscono su di un liquido (es. una molecola d’acqua nell’oceano) capace di fluire o su di un solido fisso, che non può spostarsi per scorrimento o flusso (es. un silicato componente della crosta terrestre.

Nonostante questo diverso effetto, il principio è lo stesso, anzi a causa della maggior densità della crosta terrestre rispetto all’acqua dell’oceano, le forza di marea sono più intense sulla prima.

 

Effetti delle forze di marea sul corpo umano

Il corpo umano contiene al suo interno masse solide (es. sistema scheletrico) e notevole quantità di liquidi (es. sangue, citoplasma). L’entità di queste forze sul corpo umano è da calcolarsi come per qualunque oggetto fisico dotato di massa, conoscendo le sua posizione sulla superficie della terra e le posizioni relative di sole e luna nello spazio. Quali sono gli effetti di queste forze ? Sono essi legati ad una periodicità ?

La seconda risposta è fuori da ogni dubbio positiva. Cicli vitali nelle piante e negli animali legati al ciclo lunare sono noti da tempo. La teoria del ‘bioritmo’ individua diversi cicli nell’attività umana, ma per ora questa teoria è ritenuta pseudo-scientifica. Secondo questa teoria l’attività di una persona è affetta da cicli biologici che agiscono in tre differenti sfere, fisica, mentale ed emotiva.

Questi cicli iniziano con la nascita ed oscillano perpetuamente durante la vita secondo un ritmo sinusoidale, prevedibile dunque giorno per giorno. La maggior parte dei modelli di bioritmo usano tre cicli, un ciclo fisico con un periodo di 23 giorni, un ciclo emotiovo (o emozionale) con un periodo di 28 giorni ed infine un ciclo intellettuale con un periodo di 33 giorni.

 

Fig. 2 Curve cicliche sinusoidali del bioritmo fisico (verde), emotivo (rosso) e intellettuale (blu)

 

Il periodo di questi cicli appare però arbitrario in quanto non legato a specifiche periodicità di fenomeni fisici od astronomici di qualche rilievo.

La cronobiologia è invece una disciplina scientifica riconosciuta, essa esamina le variazioni cicliche in biologia, indotte da particolari fenomeni astrofisici, come alba, tramonto, ciclo lunare o solare. Tra questi cicli compare anche la marea, intesa però come fenomeno fisico di movimento di acque e di sue influenze sulla vita acquatica.

Non vengono evidenziati in particolare influenze tra le forze di marea e i cicli biologici degli esseri umani.

In sostanza, da quanto risulta dalla letteratura, effetti sul cosidetto ‘bioritmo’ delle forze di marea non sono per ora presi in considerazione, nemmeno per scopi speculativi. Secondo chi scrive essi sono invece sicuramente degni di attenzione.

Vediamo innanzitutto come si possono calcolare con notevole precisione le forze di marea (attenzione non la marea oceanica che, pur partendo dallo stesso approccio, richiede un ulteriore elaborazione delle stesse forze di marea in funzione di dati specifici come profondità dei fondali, estensione della superficie marina , morfologia del fondale etc.)

 

Calcolo della forza di marea

 

Punto di partenza è la precisa posizione spaziale nello stesso riferimento cartesiano ortogonale e nello stesso istante di:

1)      punto sulla superficie terrestre, luogo dell’osservazione (si elaborano da latitudine, longitudine, altezza sul livello del mare,data e ora)

2)      posizione della luna (del suo baricentro) nello stesso istante (da JPL Horizon)

3)      posizione del sole (del suo baricentro) nello stesso istante (da JPL Horizon)

4)      dati astronomici come massa del sole, della luna, raggio della terra supposta sferica, costante gravitazionale etc.

Il sistema di coordinate qui usato è quello topocentrico, ovvero con l’origine nel punto di osservazione e la consueta direzione degli assi.(vedi fig.3)

 

Fig.3 Orientazione degli assi di riferimento topocentrici

 

Il sistema di coordinate topocentrico è stettamente relazionato con il sistema geocentrico ed eliocentrico. Tutti e tre i sistemi possiedono infatti l’asse x orientato verso l’equinozio primaverile (punto γ in Ariete ), l’asse y giace sul piano dell’eclittica (piano orbitante della terra) per gli ultimi due sistemi, mentre è posizionato sul piano equatoriale della terra per il sistema topocentrico (sistema equatoriale). L’asse z è normale a x e y.

 

Fig.4 Orientamenti spaziali dei sistemi di coordinate

 

Il calcolo delle posizioni di sole e luna (effemeridi del sole e della luna) richiede di risolvere le equazioni del movimento (Leggi di Keplero) dei due corpi celesti. Nel caso del sole calcoliamo in realtà la posizione della terra nel sistema di coordinate eliocentrico e quindi si trasla nel topocentro (luogo dell’osservazione). La posizione della terra nella sua orbita attorno al sole devia però a causa di perturbazioni gravitazionali, soprattutto dei pianeti esterni giove e saturno, di massa molto maggiore di quella terrestre. Inoltre è influenzata dalla posizione della luna, infatti solo il baricentro terra-luna (situato a circa 4000 km da centro della terra, nella direzione della luna) ruota esattamente secondo un’orbita ellittica.

Il calcolo della posizione lunare è ancora più complesso, occorrendo considerare almeno una decina di termini correttivi rispetto all’orbita ellittia. Questo a causa dall’attrazione contemporanea di terra e sole sulla luna.

 

Il programma JPL Horizons (NASA)

 

La soluzione viene dalla disponibilità del sofware JPL Horizons del quale allego una breve nota introduttiva pratica (in inglese)

Tramite metodi iterativi di risoluzione dell’equazione Newtoniana del moto, corretta per i principali effetti relativistici e tenendo conto di tutte le interazioni reciproche tra i corpi del sistema solare, è possibile avere una serie di coordinate di elevata precisione (15 cifre significative)  in un intervallo di tempo ampio a piacere.

Volendo esaminare un intervallo di calcolo per le forze di marea di 10 anni (2010 - 2019) con una precisione temporale di 10 min. (time step), la massa di dati in ogni caso sarebbe stata davvero eccessiva. Si è scelto quindi di richiedere un output al Solex cadenziato di 6 ore e di ricavare poi al momento del calcolo effettivo delle forze di marea le posizioni del sole e della luna con una cadenza di 10 min. Si ricorre a questo scopo ad una interpolazione di Bessel del 5° grado sull’output di Solex con time step di 10 min nell’intervallo temporale richiesto. (1/1/2010 - 31/12/2019) .

Scegliendo come precisione di calcolo 12 cifre significative si ottiene da Solex un file compresso di 686 kByte che fornisce con accuratezza più che sufficiente le posizioni di sole e luna ogni 6 ore dal 1/1/2010 al  31/12/2019 e che serve, come detto, di base per l’interpolazione di Bessel.

 

Calcolo vettoriale della forza di marea

 

Generalmente parlando, nota la posizione dei tre corpi (sole, luna e pianeta terra, nonché le coordinate del topocentro) il calcolo delle forze di marea si riduce ad una sottrazione vettoriale tra la forza gravitazionale complessiva esercitata da sole e luna nel baricentro terrestre F(bary) e la rispettiva forza F(topo) esercitata nel topocentro (punto di osservazione) sulla stessa unità di massa M. Nel sistema SI l’unità di massa è il Kg, quindi si è scelto di riferire le forze a questa unità di massa.

 

F(tide) = F(topo) - F(bary)

Fig.5 Le forze gravitazionali non esattamente eguali, la cui differenza F(tide) dà luogo alla forza di marea

 

Le coordinate del topocentro dipendono dalla sua latitudine, longitudine ed altezza dal suolo, dati questi ultimi che devono essere forniti al programma di calcolo. A questo riguardo occorre sottolineare come le forze di marea varino, nello stesso istante, in diverse posizioni sul globo.

Il vettore differenza F(tide) avrà una direzione non necessariamente normale o parallela alla superficie nel topocentro. Esso viene quindi scomposto in due vettori, il primo parallelo alla superficie del globo in quel punto F1(tide)ed il secondo perpendicolare (e quindi diretto verso il baricentro della terra, supposta sferica) F2(tide). Questa seconda componente non è influente rispetto ai moti di marea, il suo unico effetto essendo quello di far variare leggermente la forza di gravità percepita in quel punto e comunque diretta verso il centro della terra. La prima componente del vettore F1(tide), parallela alla superficie, è invece molto interessante ed è  responsabile dei movimenti di masse fluide. Ci occuperemo quindi in particolare di essa.

 

Fig.6 Componenti del vettore di marea parallela e perpendicolare al piano superficiale dell’ossevatore passante per P

 

Forze centrifughe associate al movimento dell’osservatore

 

La rotazione della terra attorno al sole e attorno al baricentro terra-luna (situato a circa 4000 km dal centro della terra in direzione della luna) genera una serie di forze centrifughe, di cui in realtà non occorre tenere conto.

Nel baricentro della terra (e di tutti i corpi orbitanti nel sistema solare) si ha infatti il perfetto equilibrio tra forza centrifuga e attrazione gravitazionale da parte degli altri corpi (pianeti, sole). La legge della meccanica newtoniana F = m·a viene rispettata. Non esistono quindi forze di marea.

Come discusso, nel punto P della superficie terrestre questo non è più vero, e nascono le forze di marea. La forza centrifuga nel punto P è pari a quella presente nel baricentro (e quindi gia compensata) + la forza centrifuga costante (in modulo ma non in direzione) dovuta alla rotazione della terra attorno al suo asse. Questo vettore forza (FC nella fig. 7) , sommato vettorialmente alla forza attrattiva della terra F1 (diretta verso il baricentro della terra) produce il vettore FR (in rosso) che in realtà è perpendicolare alla superficie, essendo la terra leggermente ellittica proprio per gli effetti centrifughi dovuti alla rotazione (in fig.7 gli effetti sono esagerati a scopo dimostrativo).

 

Fig. 7. Orientazione dela forza centrifuga, della forza gravitazionale e della loro risultante sulla superficie della terra.

 

Essendo la forza FR costantemente rivolta normalmente alla superficie della terra con lo stesso modulo,essa non fa parte delle forza di marea e non crea spostamenti superficiali di masse. Il suo valore può in effetti variare leggermente a causa della forza F2(tide) variabile (vedi fig.6) che viene a sommarsi nella stessa direzione (ma non necessariamente nello stesso verso).

 

Il programma Tidal_plot

 

Il modulo di F1(tide) è quindi il principale responsabile della forza di marea. Il suo modulo (lunghezza del vettore) viene diagrammato dal programma Tidal-Plot nell’arco di 24 ore, oppure 1 settimana oppure 1 mese. Il calcolo viene eseguito sempre ogni 10 min. La forza di marea è solitamente compresa nell’intervallo 0 ~ 2·10-6 newton/Kg. Tradotto in Kg(forza) su di un corpo umano di 80 Kg si ha una componente orizzontale della forza totale di marea tra 0 ~ 16 mg (milligrammi-forza) mentre la forza gravitazionale è vicina a 80 Kg, circa 5 milioni di volte superiore!

La forza di marea è però variabile, sia in modulo che in direzione, mentre la forza gravitazionale no; da questo potrebbero nascere interessanti fenomeni ciclici (bioritmi).

Oltre al modulo di F1(tide)  viene tracciato a richiesta il modulo di F(tide) e anche di F2(tide)

 

 

E’ possibile anche rappresentare su di un grafico bidimensionale direzione e modulo del vettore F1(tide) su un piano parallelo (tangente) alla superficie terrestre nel punto di osservazione.

 

E’ possibile rappresentare il contributo alle forze di mare della luna, del sole o di entrambi.

Scarica il programma (valido 2000-2500)

 

Directions for Reading Lunar Ephemeris with JPL Horizons

 

The JPL HORIZONS system provides data on the apparent positions, lighting, and orientations of solar system bodies as observed from any location at any date/time. Results are based on the definitive JPL numerical integrations of planetary positions. Through the web interface, the user is able to specify the viewing geometry, and select the parameters of interest.  The results are then returned as a table listing the values of the selected parameters at any desired interval over any desired time span.  The operation is much simpler than it may at first appear.

 

The following directions explain, as an example, how to determine the position, lighting conditions and phase/librations of the Moon from Padua on the night of 30 November 1609.

 

1. Go to the HORIZONS Web-Interface at:

 

  http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi

 

You will see a screen with a section of “Current Settings” with six options that can be changed.  Under that is a button that says “Generate Ephemeris

 

2. Under “Ephemeris Type”: leave the setting at its default (OBSERVER).

 

3. Under “Target Body”, click “change”. 

a.    In the box that says “Lookup the specified body:” enter Moon and click Search.

b.    From the options offered, select Moon [Luna]

 

4. Under “Observer Location”, click “change”. 

a.    In the box that says “Lookup Named Location:” enter Padua and click Search.

b.    From the options offered, select Padua [Code 533] (or whatever location is desired).  The purist can enter the exact coordinates of Galileo’s house (if known) in “Specify Observer Coordinates” (but that would be overkill by a large margin).

 

5. Under “Time Span”, click “change”. 

  1. In the box that says “Start Time” enter 1609-11-30 12:00 (times are in UT)

  2. In the box that says “End Time” enter 1609-12-01 12:00

  3. Set the box that says “Step Size” to  1 minute (or whatever is desired)

 

6. Under “Table Settings”, click “change”.

 

  1. Under “Select observer quantities from table below:”

    1. First click the button near the top that says “none” (this will clear all the check boxes).

    2. Check the following boxes:

                                                          i.     4. Apparent AZ & EL” (this gives the position of the Moon’s center in the local sky)

                                                      ii.     10. Illuminated fraction” (this gives the observed phase)

                                                  iii.     14. Obs sub-lng & sub-lat” (this gives the librations)

                                                      iv.     15. Sun sub-long & sub-lat” (this defines the lighting conditions – terminator position relative to surface features)

    1. Other parameters may be of interest (for example the N pole orientation).  Whatever is selected, there will be a brief explanation of each in the output.

  1. In “Optional observer-table settings:”

    1. Under Angle Format select decimal degrees.

    2. Under skip daylight check as desired (there is always a flag in the output telling if the Sun is up)

    3. Under CSV format, check as desired.  A CSV output file can be opened as a spreadsheet with EXCEL.  Otherwise a plain text format (fixed column widths) is easier to read.

    4. Set other selections as desired.  For example, there is an RTS mode available which will suppress all output expect a single line at each Rise, Transit and Set of the target object.

 

7. Under “Display/Output”, click “change”.   Select whatever format is desired.  I prefer plain text or download/save .